CONSTRUINDO GRÁFICOS DE FUNÇÕES SENO E COSSENO

Analisando o Gráfico da Função Seno

A função seno f ( ) = sin representa uma correspondência que associa um valor no domínio com um único valor na extensão. Cada valor da variável independente produz apenas um valor da variável dependente f( ) .

Considere o gráfico e a tabela de valores correspondentes ao conjunto de pares ordenados associados com a função seno no intervalo :

> restart;

> with(plots):

> plot(sin(theta),theta=-2*Pi..2*Pi);

- 6.2832 y = -4.6928e-6

-5.4978 y = 0.7071

-4.7124 y = 1

-3.927 y = 0.70711

-3.1416 y = 2.3464e-6

-2.3562 y = -0.70711

-1.5708 y = -1

-0.7854 y = -0.70711

0 y = 0

0.7854 y = 0.70711

1.5708 y = 1

2.3562 y = 0.70711

3.1416 y = -2.3464e-6

3.927 y = -0.70711

4.7124 y = -1

5.4978 y = -0.7071

6.2832 y = 4.6928e-6

-1 y = -0.84147

-0.86667 y = -0.76218

-0.73333 y = -0.66935

-0.6 y = -0.56464

-0.46667 y = -0.44991

-0.33333 y = -0.32719

-0.2 y = -0.19867

-0.066667 y = -0.066617

0.066667 y = 0.066617

0.2 y = 0.19867

0.33333 y = 0.32719

0.46667 y = 0.44991

0.6 y = 0.56464

0.73333 y = 0.66935

0.86667 y = 0.76218

1 y = 0.84147

Quantas vezes no intervalo a função seno é igual a 0 ?

R: 5

Qual é o valor máximo M atingido pela função seno?

R: 1

Quantas vezes no intervalo o valor máximo é atingido ?

R: 2

Qual é valor mínimo m atingido pela função seno ?

R: -1

Quantas vezes no intervalo o valor mínimo é atingido ?

R: 2

Quantas vezes o gráfico da função seno repete este modelo no intervalo ?

R: 2

Preveja em qual intervalo de os valores da função seno repete eles mesmos.

R: 2

Funções que repetem seus valores em intervalos regulares são descritas como periódicas. Uma função f é periódica se nela existe uma constante positiva k tal que = para todo número no domínio de f . A menor constante positiva k é chamada de período da função. Qualquer parte do gráfico de uma função periódica que corresponde a um período é chamada um ciclo do gráfico.

A função seno é periódica com período de . Para todo no domínio, sin = sin . Esta propriedade pode ser ilustrada graficamente considerando o efeito de vários valores diferentes de k no gráfico da função seno.

> restart;

> with(plots):

> y[1]:=sin(theta+2*Pi);

> y[2]:=sin(theta+4*Pi);

> plot(y[1],theta=-2*Pi..2*Pi);

> plot(y[2],theta=-2*Pi..2*Pi);

Compare os gráficos de y = sin , = sin , e .

R: Eles são idênticos.

A amplitude do gráfico de y = sin é dada pela amplitude = (M - m) , onde M é o valor máximo atingido pela curva, m é o valor mínimo atingido pela curva.

Qual é a amplitude de y = sin ?

R: 1

Considere os gráficos de um trio de funções seno no intervalo .

= 2 sin em azul; = sin em vermelho e = - 3 sin em verde

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(2*sin(theta),theta=0..2*Pi,color=blue):

> b:=plot((1/2)*sin(theta),theta=0..2*Pi,color=red):

> c:=plot(-3*sin(theta),theta=0..2*Pi,color=green):

> display({a,b,c});

Determine a amplitude de cada uma das funções seno olhando o gráfico.

R: : 2 ; : ; : 3

Determine no gráfico o valor máximo e minímo de cada uma das funções seno.

R: ;

;

;

Para determinar a amplitude de = -3 usando a fórmula amplitude = (M - m) , os valores de M , m , e a fórmula amplitude deve ser designada.

Recorde que o gráfico de y = esticado verticalmente por um fator de a quando | a | > 1 e é reduzido verticalmente por um fator de a quando 0 < | a | < 1 . Tais verticais ampliação e redução são relatadas na amplitude da função seno. A amplitude de y = a sin é | a | .

Crie uma função seno a qual tenha sido esticada verticalmente por um fator de 4.

R:Várias respostas são possíveis tais como y = 4 sin ou y = - 4 sin .

Crie duas funções seno que tenham uma amplitude de 1.5.

R: y = 1.5 sin ;
y = - 1.5 sin
(Várias respostas corretas são possíveis.)

Examine os gráficos dos pares das funções seno no intervalo .

= sin em vemelho; = sin (2 ) em azul.

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sin(theta),theta=0..2*Pi):

> b:=plot(sin(2*theta),theta=0..2*Pi,color=blue):

> display({a,b});

Quantos ciclos estão completos em um intervalo de extensão para e ?

R: O número de ciclos completos é igual ao coeficiente de .

Qual é a extensão de um ciclo (período) de e ?

R: : 2

:

Examine o gráfico de outro par da função seno no intervalo .

= sin ; vermelho ; = sin 3 ; azul .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sin((1/2)*theta),theta=0..2*Pi):

> b:=plot(sin(3*theta),theta=0..2*Pi,color=blue):

> display({a,b});

Quantos ciclos estão completos no intervalo de extensão 2 para e ?

R: = ; = 3 .

Compare o número de ciclos completos com o coeficiente de .

R: Eles são os mesmos

Qual é a extensão de um ciclo (período) de ? ?

R: : ; : .

Um ciclo de y = sin , b > 0 , é completo como varia de 0 a . Se , então . A extensão do intervalo, , é o período de y = sin .

O período da função sinuosa definida abaixo pode ser determinada e confirmada algebricamente.

= sin .

> plot(sin((2/3)*theta),theta=0..3*Pi);

Qual é o período de ?

R:

Baseado no gráfico de , qual é extensão de um ciclo (período)?

R: 3 .

Considere os gráficos da função sinuosa = sin e = sin no intervalo .

= sin em verde e = sin ( ) em azul .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(((-3/2)*sin(Pi*theta)),theta=-2*Pi..2*Pi,color=green):

> b:=plot((sin(theta)),theta=-2*Pi..2*Pi,color=blue):

> display({a,b});

Determine a amplitude e o período de e .

R: : ; : 2

: 1 ; : .

Explique onde o gráfico de y = sin(-2x) tem o mesmo período do gráfico de y = sin (2x) .

R: Desde que o período seja o valor absoluto de , os períodos serão iguais.

A função sinuosa y = a sin tem uma amplitude de 5 e um período de 4. Quais são os possíveis valores de a ? e de b ?

R: a : 5 ou -5

b : ou .

Analisando o Gráfico da Função Cosseno

Examine o gráfico e a tabela de valores correspondentes do conjunto de pares ordenados associados com a função cosseno no intervalo :

> plot(cos(theta),theta=-2*Pi..2*Pi);

-6.283 1

-5.4976 0.92388

-4.7123 0.70711

-3.9269 0.38268

-3.1415 -1.1732e-6

-2.3561 -0.38268

-1.5708 -0.70711

-0.78538 -0.92388

0 -1

0.78538 -092388

1.5708 -0.7071

2.3561 -0.38268

3.1415 3.5196e-6

3.9269 0.38269

4.7123 0.70711

5.4976 0.92388

6.283 1

Quantas vezes no intervalo a função cosseno é igual a 0 ?

R: 4

Qual é o valor máximo M atingido pela função cosseno?

R: 1

Qual é o valor mínimo m atingido pela função cosseno?

R: 1

Baseado no gráfico, qual é a amplitude de y = cos ?

R: 1

Baseado no gráfico, qual é o período de y = cos ?

R:

Considere os gráficos de duas funções sinuosas no intervalo :

em vermelho , em verde

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sin(theta),theta=0..2*Pi):

> b:=plot(cos(theta),theta=0..2*Pi,color=green):

> display({a,b});

Explique se os gráficos de y = sin e y = cos são idênticos.

em vermelho e em preto .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(sin(theta),theta=-2*Pi..2*Pi):

> b:=plot(cos(theta+Pi/2),theta=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> display({a,b});

Estes dois gráficos são reflexos um do outro .

A amplitude da função cosseno no gráfico é a mesma da função seno. No entanto a amplitude da função cosseno é dada pela amplitude igual a (M - m) , onde M é o valor máximo atingido pela função, m é o valor mínimo atingido pela função. A amplitude de y = a cos é | a |.

O período da função cosseno no gráfico é o mesmo da função seno e é dado pela extensão do intervalo, .

Considere os gráficos das funções sinuosas = 2 cos e = cos no intervalo .

; verde , ; azul .

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(2*cos(theta),theta=0..4*Pi,color=green):

> b:=plot(cos(theta/2),theta=0..4*Pi,color=blue):

> display({a,b});

Determine a amplitude e o período de e .

R: : 2 ; : .

: 1 ; :

Explique onde o gráfico de y =cos (-3x) tem o mesmo período do que o gráfico de y = cos (3x) .

R: Desde que o período seja o valor absoluto de , os períodos serão iguais.

Crie uma equação de uma função cosseno com amplitude = 4 e período = 4 e registre em ?

R: Várias respostas corretas irão existir. .

Aprofundando seus Conhecimentos

Explique porque o gráfico de parece com :

> plot((abs(sin(theta))),theta=-Pi..Pi);

O valor absoluto sinalisado provoca a curva refletida acima do eixo x .

Explique como as amplitudes e os períodos de e são relatados.

> c:=plot(sin(theta),theta=-2*Pi..2*Pi,color=black):

> d:=plot(abs(sin(theta)),theta=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> display({c,d});

Ambas as amplitudes são 1, e os períodos são cada um .

Explique onde os gráficos de e são os mesmos :

> restart;

> with(plots):

> a:=plot(abs(sin(theta)),theta=-2*Pi..2*Pi,color=red):

> b:=plot(sin(abs(theta)),theta=-2*Pi..2*Pi,color=blue):

> display({a,b});

As curvas são idênticas no intervalo mas não eram idênticas antes e depois deste intervalo.

Examine o gráfico de :

> restart;

> with(plots):

> plot((sin(theta))/theta,theta=-Pi..Pi);

Quais conclusões podem ser desenhadas sobre o valor de com x > 0 ?

R: aproxima 1 com x aproxima 0.

Explique onde o gráfico de tem uma assímptota vertical em x = 0 .

R: Não existe assímptota vertical em x = 0 .

Examine um gráfico :

> restart;

> with(plots):

> plot((cos(theta))/theta,theta=-Pi..Pi,y=-4..4);

Que conclusões podem ser desenhadas sobre o valor de com x > 0 ?

R: A ( x > 0+ , > ) ; E a ( x > 0 , > ).

Explique se o gráfico de tem uma assímptota vertical em x = 0 .

R: Uma assímptota vertical existe em x = 0 .

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